Nicola Leali urodził się 17 lutego 1993 roku w Castiglione delle Stiviere na północy Włoch. Gdy chłopak miał dziesięć lat i zaczął przejawiać zainteresowanie futbolem, jego rodzice zapisali go do szkółki piłkarskiej pobliskiej Bresci. Od tego czasu, młody zawodnik, który został przesunięty do bramki, przechodził przez wszystkie szczeble juniorskie, po czym w 2009 roku, w wieku zaledwie 16 lat przeniósł się do zespołu primavery, gdzie dobre występy pozwoliły mu na awans do pierwszej drużyny. Swojego debiutu doczekał się dokładnie 15 maja 2011 w przegranym 1-0 starciu z Ceseną. Miał wówczas zaledwie 18 lat, wobec czego piłkarscy skauci z całego świata zawiesili na nim oko i niemal pewne było, że Brescia stanie się niedługo dla niego po prostu za ciasna.
Kolejny sezon Leali rozpoczął już jako podstawowy bramkarz, jednak jego zespół występował już wówczas w Serie B. Kolejne dobre występy ponownie spowodowały wysyp plotek łączących go z przenosinami do mocniejszego zespołu. Tym razem okazały się one jednak prawdziwe i po zakończeniu sezonu 2011/12 Nicola opuścił Brescię.
Kolejnym przystankiem w jego karierze okazał się Juventus Turyn. Stara Dama na sprowadzenie młodzieżowego reprezentanta Włoch wydała 5 milionów euro, jednak tym samym zapewniła sobie usługi bramkarza, który w niedalekiej przyszłości ma zastąpi między słupkami bramki Juve Gianluigiego Buffona. Z tego też powodu zarząd klubu nie chciał trzymać go przyspawanego do ławki rezerwowych i w ciągu trzech lat występował w trzech klubach na zasadzie wypożyczenia. 21-latek grał w Virtus Lanciano, Spezii, a obecnie reprezentuje barwy Ceseny.
Coraz więcej mówi się, że Leali już po sezonie ma na stałe wrócić do Turynu i rozpocząć walkę z Buffonem o miejsce w pierwszym zespole. Czyżby szykowała się pokoleniowa zmiana w bramce Starej Damy?